Simetría _ Matemáticas - Primero Medio

Introducción

La idea de simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado recurrir a algunos naturales de simetría y de gran belleza.

Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.

Otros ejemplos de simetría

Jardines del Vaticano

Plaza de San Pedro

Escudo del Vaticano

En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.

En base a las observaciones en los ejemplos anteriores, resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

Observe la siguiente balanza en equilibrio. En este caso diremos que el conjunto de pesas F� es el simétrico del conjunto F respecto del eje L o que el conjunto de pesas F es el simétrico del conjunto F� respecto del mismo eje L.

1. Simetría Axial

a. Simetría Axial entre dos Puntos

Dados los puntos A, A� y la recta L, se dice que A� es la imagen de A por reflexión con respecto a L (llamado Eje de Simetría) si el segmento AA� es perpendicular a L, AA� L = { C } y AC = CA�



Si A� es la imagen por reflexión de A respecto de L entonces A� es el simétrico de A.

Si A� es la imagen de A con respecto a L entonces A es a su vez la imagen de A� respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que A y A� son puntos tales que cada uno es la imagen del otro respecto de L.

b. Simetría Axial entre dos Figuras

Sean F y F� dos figuras y L una recta:



La imagen F� de la figura F con respecto al eje de simetría L, es el conjunto de las imágenes obtenidas de cada punto de la figura F por reflexión con respecto a la recta L.

Si F� es la imagen de F con respecto a L entonces F es a su vez la imagen de F� respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que F y F� son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de L.

2. Simetría Central

a. Simetría Central entre dos Puntos

Dados los puntos A, A� y otro punto C, perteneciente al trazo AA�, se dice que A� es la imagen de A con respecto a C si AC = CA�.

Si A� es la imagen por reflexión de A respecto de C, entonces A� es el simétrico de A respecto de C.

Si A� es la imagen de A con respecto a C entonces A es, a su vez, la imagen de A� respecto del mismo punto C.

b. Simetría Central entre dos Figuras

Sean F y F� dos figuras y C un punto llamado centro de simetría.

La imagen F� de la figura F con respecto al centro de simetría C, es el conjunto de las imágenes obtenidas por reflexión de cada punto de la figura F respecto del punto C.

Si F� es la imagen de F con respecto a C, entonces F es a su vez la imagen de F� respecto del mismo punto C. Diremos, entonces, que F y F� son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de C.